数学勉強法(2)大原則編


数学を得意科目にするには、「計算力強化、10回の復習、暗記数学」の3つが有効です。

1.中学数学ができない原因

中学生が数学ができない場合、その原因は、主に計算力不足と暗記した解法の数の不足の2つです。

1.1.計算力不足

整数や小数、分数の四則演算などの算数の計算力と、因数分解、平方根、方程式などの中学数学の計算力が不足していると、計算ミス、計算間違い、計算の遅さなどが原因で点数が取れません。中学生で授業について行けていないお子さんの多くは計算力不足です。以下のような本で計算力不足を解消していくことを強くオススメします。

「強育ドリル」(ディスカヴァー・トゥエンティワン)
「学ぼう!算数高学年用 上」(数研出版)
「小河式プリント中学数学基礎篇」(文藝春秋)
「スタートでつまずかない中学数学計算」(くもん出版)
「くもんの中学基礎がため100%中1数学 計算編」(くもん出版)

入試はスピード勝負なので、数学がある程度得意なお子さんでも、以下のような本で計算スピードをトレーニングしておくことは有益です。

「高校入試突破計算力トレーニング」(桐書房)
「ドラゴン桜式 数学力ドリル 中学レベル篇」(講談社)

1.2.暗記した解法の数の不足

高校入試でも大学入試でも、「問題の種類=問題のパターン=解き方のパターン=解法のパターン」は無限にあるのではなく有限です。公立高校入試では、それは中学教科書と標準的受験問題集に載っている解法をマスターすればほぼ網羅できます。
数学の成績が悪い中学生はこの「解ける解法の数」が少ないので、問題を見ても、解き方を思い出せないのです。

数学における大きな誤解は、数学はセンスで解く、ヒラメキで解くというものです。数学にセンスや才能が役立つことは否定しませんが、大学入試までの数学は、主に「記憶」で解けます。

私たちが数学の問題を解いているとき、「考えている」と言いますが、実際には何をしているかというと、「以前に解いた類似の問題の解き方を思い出そうとしている」か、「思い出した解き方をいろいろ試している」に過ぎません。自分が解いているときの頭の働きを思い返してみて下さい。ゼロから解法を思いつこうとしても、ないものは出てきません。

そして、教科書と標準的受験問題集の問題の解法をしっかり理解して記憶したら、解ける問題が飛躍的に増えます。そして、その「解法をしっかり理解して記憶」する効率的な方法は「暗記数学」と効率的な復習システムです。以下ではこの2つについて説明していきます。

2.記憶の原理を理解する

2.1.一回記憶することは誰でもできる。問題はそれを忘れないようにすること。

勉強で一番大事なのは、勉強した内容を長期間忘れず、少なくとも定期テストや入学試験まで覚えておくことです。一回理解する、記憶するのは誰でもできますし、やっています。問題は、一回理解し記憶した内容(短期記憶)を、長く忘れない記憶(長期記憶)に移すことです。

効率よく長期記憶に移すには、記憶の原理を知り、それにのっとった復習システムを作り、復習を計画的に実践していくことが必要です。

当塾ではこの「効率よく長期記憶に入れる復習システム」を確立しており、それを生徒に習得してもらうことを第一の目標にしています。それは各教科の特質により多少のバリエーションはあるものの、基本原則は同じなので、一度復習システムを作り上げたら、どの分野の学習でも使える勉強法・記憶法を習得したことになり、一生の宝になります。
みなさんもぜひ、以下の文章や当塾のホームページをお読みになり、記憶の原理を理解し、自分に合った復習システムを創り上げて下さい。

2.2.短期記憶と長期記憶

短期記憶とは、数日~数週間で忘れる記憶です。全ての記憶はまず短期記憶として頭に入ります。そしてその中で、「生きるのに必要な記憶」として脳に認識された記憶のみ、長期記憶に移されます。
長期記憶とは、長く忘れない記憶であり、例えば、自分の携帯電話番号や住所、あるいは円周率(3.14)やかけ算の九九などは長期記憶に入っているので、なかなか忘れません。

2.3.短期記憶を長期記憶に移す方法は復習のみ

「生きるのに必要な記憶」として脳(正確には海馬という脳の器官)に認識してもらうには、強い感情を伴って記憶するか、何度も繰り返し記憶するしかありません。数学で強い感情を常時喚起して記憶することは不可能ですから、何度も復習することが唯一の方法になります。つまり、長期記憶に移すには、復習するしかないのです。

2.4.最適な復習間隔と回数

問題は、最適な復習間隔と回数です。普通の学生の場合、数学では、復習回数は5~10回、復習間隔は二週間以内が適しています。これで長期記憶に入る可能性が高まります。これでも忘れる人は、間隔をもっと短くし、回数を12回、15回と増やしていく必要があります。逆に、数学が得意な人は回数がもっと少なくても大丈夫な場合があります。
以上の情報をもとに、あなたに適した復習システムを作っていってください。

3.復習戦略

3.1.幾つもの問題集を次から次へこなしていくのは間違った勉強法

1冊の問題集を1,2回しかやらず、次の問題集へ進むという勉強法を採っている中学生は多いと思いますが、この勉強法は実際にはとても効率が悪いのです。なぜなら、数学の実力を上げるとは、「できなかった問題をできるようにすること」なのですが、復習を1,2回しかしなかったら、できなかった問題の多くはまだできるようにはならず、一時的にできるようになった問題も、2~3週間たつと忘れて、次第にできなくなるからです。この状態で次の問題集へ進んでも、できるようになっては忘れ、できるようになっては忘れを繰り返すので、一向に実力が上がっていかないのです。

3.2.復習の目標:問題集の全問題をスラスラ解けるようにすること

数学で問題集をする目的は、数学の実力を上げ、成績を上げ、受験に合格することです。そのためには、自分が選んだ問題集について、「1回目に解けなかった問題全てをスラスラ解ける状態にする」ことが必要です。
問題集を1回やると、解ける問題と解けない問題を区別することができます。そして、その「解けない問題を解けるようにする」ことが、実力を上げるということです。それも、「3分、5分考えてやっと解法が思いつく状態」ではなく、「問題を見たら即座に解法が思い浮かぶ状態」「いつでもスラスラ解ける状態」にします。なぜなら、そうなって初めて、確実な記憶となり、入試の時まで覚えておけるからですし、応用問題を解くときに、解法がすぐにいくつも思い浮かぶようになるからです。
そして、普通の人は1,2回復習しても、スラスラ状態にはなりません。5~10回必要です。

3.3.一冊ずつ完璧にマスターする

問題集は1冊ずつ完璧にマスターしてから、次の問題集に進むのが効率の良い勉強法です。言い換えれば、1冊の問題集を5回以上復習し、全問「スラスラ解ける状態」にしてから次の問題集へ進むことと、並行して同じ教科・分野の問題集を2冊以上使わないことで、効率的に成績を上げていくことができます。また、分厚い問題集では復習回数をこなせないため、薄い問題集を選ぶことも大切です。
数学の教科書は問題数が少ないので、教科書をマスターした後、あるいは並行して、学校や塾、自宅で使っている問題集の中から1冊選んでマスターします。
ちなみに、問題集を”マスターする”とは、5~10回復習して、全問「スラスラ解ける状態」にすることです。

3.4.復習システム

【復習システム】

(1)2週間以内に復習に入り、5回連続で復習する

普通の人は、2週間を過ぎると急速に忘れていくので、2週間以内に復習するのが効率の良い勉強法です。
具体的には、10~14日は先に先に進め、切りの良いところで区切って、その間に進んだ分を1セットとして、それを復習します。復習1回目が終わったらすぐに2回目に入り、2回目が終わったらすぐに3回目に入ります。そうやって5回前後復習し、「1回目に解けなかった問題全てをスラスラ解ける」ようにします。1セット終わったら次のセットに進み、同様に復習し、問題集の最後まで進めます。

(2)問題集全体が終わったら、再度5回復習する

セットごとに復習しつつ最後まで問題集を進めたら、人によってはもうほとんどの問題が解けるようになっています。そういう人は次の問題集へ移ります。
1冊終わって見返してみて、1~2割以上解けない問題がある人は、再度、解けない問題のみ、総復習します。5回前後復習し、「1回目に解けなかった問題全てをスラスラ解ける状態」にします。
このように間隔を空けて復習を繰り返すことで、問題集の内容が長期記憶にしっかりと定着します。

(3)日曜日ごとにその週の復習をする

「2週間以内の総復習」とは別に、毎日曜日など、週1日「復習日」を設け、1~2時間、その週進めた数学の問題の中で、解けなかった問題を総復習します。これは軽めの復習で結構です。早めの復習は忘却を大幅に抑えることができます。
この復習日をとるという復習法は、数学に限らず、英単語や国語の語彙記憶、英語・古文の音読などでも実践していくと記憶効率が格段に良くなるので、オススメです。

4.暗記数学

4.1.暗記数学とは

暗記数学とは、以下のような考え方をもとに、効率的に数学の成績を上げられる数学勉強法のことです。

(1)解法暗記:受験に出る数学の問題には、限られた数の典型問題(基礎・標準問題)と典型的な解法があり、その解法を理解した上で「記憶(暗記)」したら、数学が出来るようになる。

(2)応用問題も解法暗記:典型問題の数は、中学入試で100~200前後(志望校の難易度により異なる)ある。その解法(解き方)を記憶し、次にその解法の組み合わせである応用問題の解法を記憶すると、応用問題も解けるようになる。

(3)5分以上考えない:数学の問題を「考えている」とき、普通、「考えている」のではなく、「思い出そうとしている」だけ。よって、思い出すのに時間をかけるのは時間の無駄で、新たに覚えるのに時間をかけた方が良い。したがって、解けそうになければ5分程度で切り上げて解答を見、理解し記憶して再度解くのが効率が良い。

4.2.暗記数学のポイント

暗記数学の実践上のポイントは次の2つです。

(1)解けそうにないときは、5分以上考えない。
(2)解法を「理解」した上で「記憶」するよう努める。

4.3.暗記数学の手順

【暗記数学の手順】

(1)問題を5分考える:解法を幾つか試し、解けそうなら最後まで解く。5分たっても正解への道筋が見えてこず、手が止まったら、諦めて解答を見る。

(2)解法暗記:解けなかった問題の解答解説を読み、理解し、解法を書いて、もしくは見て暗記する。

(3)再現:すぐに再度解き、解答を再現する。きちんと再現できるまで、理解し記憶し再現することを繰り返す。

(4)1問当たり15~20分以内で解く:難問でも時間をかけすぎない。20分以上かかる場合は自分の現状の能力を超えていると考え、早めに切り上げて次へいく。

(5)全問、スラスラ解ける状態にする:問題集マスターの基準は、全問、問題を見たら「解法を即答できる状態」「スラスラ解ける状態」。そこまで習熟して初めて忘れにくい記憶(長期記憶)になり、応用問題が解けるようになる。

(6)復習間隔は2週間以内で、5~10回復習する:「全問、スラスラ解ける状態」にするまでの復習回数の目安は、数学力や復習周期により異なるが、5~10回前後。復習間隔は2週間以内。忘れる前に復習する。

5.基礎から順番に完璧にするのが勉強の王道

5.1.授業について行けないのは基礎をおろそかにしているから

授業について行けない生徒の特徴は、計算力が弱く、基礎の部分の理解・記憶が曖昧だということです。例えば、分数や小数・正負の四則演算、円すいの側面積の求め方、二次方程式の解の公式、重心の性質など、基本的な知識の記憶と計算ができていない場合が多い。数学は積み上げ型の教科なので、このような基礎が曖昧な場合、先へ行くほど分からなくなり、苦手意識を持ち、数学の勉強が嫌いになりがちです。

5.2.分からない地点まで戻る

ではどうしたら良いかというと、分からなくなった地点まで戻ればよいのです。中学生で言うと、中1教科書からの数学の復習をし、理解し記憶していきます。あるいは、分数が分からないなど、算数レベルに穴があれば、算数の計算練習にさかのぼって補っていきます。この時も、復習は5~10回行い、「スラスラ解ける状態」にします。

5.3.基礎から順番にマスターする

 (1)算数から復習する

中1の教科書を復習したとき、解説で分からない所がある、計算間違いが多い、計算方法が分からなくなるなら、小学算数(九九や整数・分数の四則計算等)の復習も必要です。算数の計算問題集を1冊マスターしてから、あるいは並行して、中1からの教科書の復習をします。具体的には、百マス計算や以下のような問題集で、計算力を確実なものにしていきます。

「強育ドリル」(ディスカヴァー・トゥエンティワン)
「学ぼう!算数高学年用 上」(数研出版)

算数の復習が出来る中学数学の問題集もあります。

「小河式プリント中学数学基礎篇」(文藝春秋)
「スタートでつまずかない中学数学計算」(くもん出版)
「くもんの中学基礎がため100%中1数学 計算編」(くもん出版)

テキストは全て5回以上復習し、どの問題も「スラスラ解ける」ようにします。ここまで習熟することで、基礎の知識・理解を埋めることができ、中学の教科書や問題集が分かるようになります。

どの教科でも、勉強は基礎からマスターしていくのが勉強の王道です。英語は文法と単語、数学は計算力と教科書の基礎的な定理・公式から確実に理解し記憶していきます。

 (2)中1~2教科書を復習する

算数の計算を復習してマスターしたら、あるいは算数の計算が大丈夫な人は、1~2年の教科書と問題集をマスターします。具体的には、教科書や問題集を「問題を見たらスラスラ解き方が思い浮かぶ状態」になるまで5回前後復習し、公式や定理も即答できるように記憶します。

 (3)教科書を完璧にする

学校の授業より前の部分の復習を終えたら、今の授業が分かるようになっているはずです。授業やテストに合わせて、地道に教科書や傍用問題集の復習をし、「問題を見たらスラスラ解き方が思い浮かぶ状態」にします。

 (4)標準問題集・受験問題集を完璧にする

教科書や傍用問題集以外に問題集をする余裕のある人は、自分の数学力に合わせて、標準的な問題集や受験問題集を進めていきます。また、早めに中3までの先取りが終わった人は、自分の数学力や志望校に合わせて、受験問題集を選び、進めていきます。これらの問題集も、復習を5~10回繰り返し、「問題を見たらスラスラ解き方が思い浮かぶ状態」にします。

「チャート式基礎からの中学1年&2年&3年数学」(学年別、数研出版)
「塾技100」(文英堂)

 (5)過去問を完璧にする

3年までの先取りが終わり、自分の数学力に合わせて、標準もしくは受験問題集を1冊終えたら、次に過去問を解いていきます。
過去問を解いたり見たりする目的は、傾向を知り対策をするためです。傾向とは、出やすい分野・出にくい分野、各分野の割合、問題形式、難易度などです。これらを把握し、志望校に合わせた対策をしていくことで、一般的な対策をするより合格する可能性が高まります。

志望校や公立高校の過去問は、3年の夏休みごろから、全科目少なくとも一年分、英数は2~3年分、解いていきましょう。以後、月に2年分くらい新規で解いていき、並行して復習を3回、5回としていきます。過去問も他の問題集と同じく、5~10回解き、「問題を見たらスラスラ解き方が思い浮かぶ状態」にします。そこまで習熟することで、志望校レベルの数学力を養成できると同時に、傾向が身をもって分かり、他の問題集の問題を見たとき、出そうか出そうでないかが分かり、過去問より難しいか簡単かが分かるようになります。過去問を、マスターすべき問題集と問題を選ぶ判断基準にするのです。

過去問学習を後回しにし、受験直前期(11~12月前後)からやっと過去問を本格的に解き始める受験生が多いですが、これは劣った戦略です。過去問は自分が受ける本番の入試問題に最も近い問題集です。その最も本番に近い問題集をせずに、「志望校の試験内容に近いか遠いかも分からない問題集」を11月、12月までやり続け、試験間際になって初めて、「志望校の試験内容に最も近い問題集(過去問)」に手を付けるような戦略は採らないようにしましょう。

【体験談】

「5回の復習でスラスラ解けるようになった」

Hさん、中学3年生、第一志望の公立高校(偏差値65)に合格、千葉県

◎「これが勉強方法か」

中学1年から2年にかけて集団指導の塾に行っていたのですが、もともと得意な理科社会以外はなかなか希望通りに成績が上がらず、限界を感じていました。今から考えると、塾の宿題が多く、それに時間を取られ、復習をほとんどやっていなかったことが原因だと思います。

2年生の6月頃に、お母さんが、創賢塾を探してきました。勉強方法を教えてくれるってよということでした。勉強方法って何だろうと思いましたが、授業を受けてみて、今までのやり方と全然違うので、「これが勉強方法か、やりたい」、と強く思いました。先生に何度も言われたのは、5回以上復習する、ということでした。数週間勉強してみて、英語で効果を感じたので、数学も先生の言う通りにしてみようと思い、夏休みは、1~2年の復習をひたすら繰り返しました。教科書と塾の問題集を5回やると、確かに、先生の言う通り、解き方を覚えてスラスラ解けるようになりました。

◎数学の偏差値が50から60超へ

2学期の中間試験までに、数学は1~2年の復習を10回終わり、試験範囲の教科書と問題集も全て5回は繰り返しました。他の科目も、同じようにやりました。結果は、理科以外はすべて自己最高得点をあげることができて、とても嬉しかったです。これでいける!という確信ができ、自信になりました。数学の成績は順調に上がり、模試でも50以下だったのが、55を超え、3年になると60も超えました。最終的に数学は英語と共に最も得意な科目になり、第一志望の公立高校(偏差値65)に受かることができました。

◎何を聞いても的確に答えが返ってきて安心できました

先生に教わったのは、復習の方法、暗記数学、式や公式の覚え方など、とても具体的で実践的なものでした。東大に受かっただけあって、何を聞いても的確に答えが返ってきて安心できました。ありがとうございました。

「復習と週5日の計算力トレーニングで80点を取れるようになった」

Sさん、中学3年生、東京都

私は吹奏楽部で、平日も休日も夏休みもずっと部活なので、勉強時間が取れず、焦っていました。家での勉強は1時間で眠くなり、英単語や宿題はもっぱら昼休みや休み時間に学校でやるという具合でした。教科では数学が特に苦手で、50点台もしばしばでした。

創賢塾の先生と学校のテストを見返すと、計算で間違えることが多く、それも遅いのが問題でした。それで、2年の夏休みから1日15分だけでも計算力トレーニングをするよう先生に言われ、努力してきました。毎日はできませんでしたが、週5日はしました。4ヶ月で小学の計算問題集を5周して計算が速くなったのを感じました。そのあとは中学の計算問題集を、進度に合わせて今も続けています。学校で終わったところを10周するという具合です。

算数と数学の計算を1年以上続けて、ようやく計算ミスがほとんどなくなり、計算が速くなりました。おかげで教科書や問題集も速く解けるようになり、少ない時間で効率が良くなりました。先生の言われる10周はできませんが、5周はしています。今はテストで80点台を取れるようになりました。ずっとチェックして励ましてくれた先生のおかげです。ありがとうございました。


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